Question

【題目】某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側面的長度x不得超過a m，房屋正面的造價為400元/m2，房屋側面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5800元，如果墻高為3 m，且不計房屋背面的費用．當側面的長度為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？

Answer 1

【答案】若a≥4，當x＝4時，有最小值13000元；

若a<4，當x＝a時，有最小值為900（a＋）＋5800元

【解析】

試題分析：已知中地面面積為12m2，我們可得xy=12有，根據房屋正面的造價為400元/m2，房屋側面的造價為150元/m2，屋頂的造價共5200元，結合墻高為3m，我們可以構造房屋總造價的函數解析式，利用基本不等式或導數即可求出函數的最小值，進而得到答案

試題解析：用長度x表示出造價，利用基本不等式求最值即可，還應注意定義域0<x≤a，函數取最小值時的x是否在定義域內，若不在定義域內，不能用不等式求最值，可以考慮單調性．

試題解析：由題意可得，造價y＝3（2x×150＋×400）＋5800＝900（x＋）＋5800（0<x≤a）．

則y＝900（x＋）＋5800≥900×2＋5800

＝13000（當且僅當x＝，即x＝4時取等號）．

若a≥4，x＝4時，有最小值13000．

若a<4，任取x1、x2∈（0，a]且x1<x2，

y1－y2＝900（x1＋）＋5800－900（x2＋）－5800

＝900[（x1－x2）＋16（－）]

＝．

因為0<x1<x2≤a，所以x1－x2<0，x1x2<a2<16，

所以y1－y2>0，所以y＝900（x＋）＋5800在（0，a]上是減函數，

所以當x＝a時，y有最小值900（a＋）＋5800．

綜上，若a≥4，當x＝4時，有最小值13000元；若a<4，當x＝a時，有最小值為900（a＋）＋5800元．