Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形均為全等的直角梯形，且，.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）證明過程詳見解析；（Ⅱ）.

試題分析：本題考查線面平行的判定以及二面角的求法.線面平行的判斷：①判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；②性質：如果兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面；③性質：如果兩條平行線中的一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面或在這個平面內；④性質：如果一條直線平行于兩個平行平面中的一個，那么這條直線也平行于另一個平面或在這個平面內；⑤性質：如果一個平面和平面外的一條直線都垂直于同一平面，那么這條直線和這個平面平行.第一問是利用線面平行的判定定理證明；第二問建立空間直角坐標系是關鍵，利用向量法得到平面的一個法向量為，和平面的一個法向量為，再利用夾角公式求夾角的余弦，但是需判斷夾角是銳角還是鈍角，進一步判斷余弦值的正負.
試題解析：（Ⅰ）連結，由題意，可知，
故四邊形是平行四邊形，所以．
又平面，平面，
所以平面．              5分

（Ⅱ）由題意，兩兩垂直，
以為軸，為軸建立空間直角坐標系．
設，則，，，．
設平面的一個法向量為，
則，，
又，，
所以，取．
同理，得平面的一個法向量為．
因為，又二面角為鈍角，
所以二面角的余弦值．        12分