Question

【題目】在四棱錐中，為梯形，，，，，，.

（1）在線段上有一個動點，滿足且平面，求實數的值；

（2）已知與的交點為，若，且平面，求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）通過線面平行，得到線線平行，從而得到；

（2）先利用面面垂直得出線面垂直，建立坐標系，利用向量求出二面角.

（1）延長、交于點.連接，如圖，

，平面，平面 平面,

.

在梯形中，，，所以,所以,即.

（2）在梯形中,

所以,即.所以.

因為,所以.

因為所以 ，所以，

由勾股定理.

又因為.，同理.

又因為.且平面平面 ，所以 平面.

從而直線PM，直線，直線相互垂直，

以為原點，分別以，,所在直線分別為，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，

易得，，

設平面的法向量為，易得，

從而解得，，

令可得.易知平面的法向量為

則，

所以二面角平面角的余弦值為.