Question

已知f（x）=log₄（2x+3-x²）．
（1）求f（x）定義域
（2）求函數f（x）單調遞增區間；
（3）若f（x）=m有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系,函數的定義域及其求法,復合函數的單調性

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意得2x+3-x²＞0，從而求定義域；
（2）令u=2x+3-x²，則y=log₄u；從而由復合函數的單調性判斷；
（3）由f（x）=m有兩個不同的實數根及函數f（x）的單調區間求m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵2x+3-x²＞0，
∴-1＜x＜3；
故f（x）的定義域為（-1，3）；
（2）令u=2x+3-x²，則y=log₄u；
∵y=log₄u是增函數，
∴f（x）=log₄（2x+3-x²）的單調遞增區間是（-1，1）；
（3）∵f（x）=m有兩個不同的實數根，
又∵f（x）=log₄（2x+3-x²）的單調遞增區間是[-1，1]，單調遞減區間是[1，3]；
∴f（x）_min=f（1）=1；
∴m的取值范圍是{m|m＜1}．

點評：本題考查了導數的綜合應用及復合函數的單調性的應用，屬于基礎題．