Question

已知圓C的半徑為3，圓心C在x軸下方且直線y=x上，x軸被圓C截得的弦長為2

5

．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在斜率為1的直線l，使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件設圓心坐標為（a，a），a＜0，利用待定系數(shù)法，建立條件即可得圓C的方程．
（Ⅱ）設直線方程y=x+b，以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，聯(lián)立直線方程與圓的方程，可得由方程的根與系數(shù)的關系代入x₁x₂+y₁y₂=0，可求b，從而可求直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓心C在x軸下方且直線y=x，
∴設圓心坐標為（a，a），a＜0，
則圓心到x軸的距離d=|a|=-a，
則∵x軸被圓C截得的弦長為2

5

，
∴滿足d²+（

5

）²=3²，
即a²+5=9，
則a²=4，解得a=-2，則圓心坐標為（-2，-2），
則圓C的方程為（x+2）²+（y+2）²=9；
（Ⅱ）設l的方程y=x+b，以AB為直徑的圓過原點，則OA⊥OB，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
x₁x₂+y₁y₂=0      ①
將直線方程y=x+b代入圓的方程（x+2）²+（y+2）²=9，
得2x²+（2b+8）x+（b²+4b-1）=0，
要使方程有兩個相異實根，則
△=（8+2b）²-4×2（b²+4b-1）＞0，
則x₁+x₂=-b-4，x₁x₂=

1

2

（b²+4b-1），
y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，代入x₁x₂+y₁y₂=0，得2x₁x₂+（x₁+x₂）b+b²=0
即有b²+4b-1+b（-b-4）+b²=0，
即b²=1，即b=1或b=-1，
當b=1時，△=（8+2b）²-4×2（b²+4b-1）=68＞0，滿足條件，
當b=-1時，△=（8+2b）²-4×2（b²+4b-1）=68＞0，滿足條件，
故存在直線l滿足條件，且方程為y=x-1或y=x+1．

點評：本題主要考查了直線與圓相交關系的應用，方程的根與系數(shù)關系的應用，屬于基本知識的綜合應用．