Question

【題目】設命題p：方程x2+2mx+1=0有兩個不相等的負根，命題q：x∈R，x2+2（m﹣2）x﹣3m+10≥0恒成立．
（1）若命題p、q均為真命題，求m的取值范圍；
（2）若命題p∧q為假，命題p∨q為真，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：構造函數f（x）=x2+2mx+1

∵方程x2+2mx+1=0有兩個不相等的負根

∴函數f（x）=x2+2mx+1圖象與x軸負半軸有兩個不同的交點

∴滿足的條件為 ，即

∴實數m的取值范圍m＞1

故實數m的取值范圍（1，+∞），

若命題q為真，則有△=4（m﹣2）2﹣4（﹣3m+10）≤0

解得﹣2≤m≤3．

若p、q均為真命題，則 ，即1＜m≤3

（2）解：由p∨q為真，p∧q為假知，p、q一真一假．

①當p真q假時， ，

即m＞3；

②當p假q真時， ，

即﹣2≤m≤1．

∴實數m的取值范圍是m＞3或﹣2≤m≤1．

綜上可述，實數m的取值范圍為（3，+∞）∪[﹣2，1]

【解析】（1）根據一元二次方程與一元二次函數的關系進行轉化求解即可．（2）根據復合命題p∧q為假，命題p∨q為真，得到p、q一真一假，進行求解即可．
【考點精析】本題主要考查了復合命題的真假的相關知識點，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真才能正確解答此題．