Question

過拋物線y=-

1

4

x²的焦點(diǎn)作傾斜角為α的直線l交于A、B兩點(diǎn)，若AB=8，則傾斜角α的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意知，x²=-4y，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，-1），準(zhǔn)線方程為y=1，利用拋物線的定義可知，點(diǎn)A與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)之和y_A+y_B=-6；將直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得直線l的斜率，即tanα的值，從而可求α的值．

解答： 解：∵y=-

1

4

x²，
∴x²=-4y，
∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，-1），準(zhǔn)線方程為y=1；
又過焦點(diǎn)F的傾斜角為α直線l與拋物線x²=-4y交于A、B兩點(diǎn)，且AB=8，
∴|y_A-1|+|y_B-1|=8，又y_A＜0，y_B＜0，
∴1-y_A+1-y_B=8，y_A+y_B=-6．
∵直線l的方程為：y+1=xtanα=kx，由

x2=-4y y=kx-1

得：y²+（2+4k²）y+1=0，
顯然△=（2+4k²）²-4＞0，
∴y_A+y_B=-（2+4k²）=-6，解得k=±1，即tanα=±1，
∴α=

π

4

或

3π

4

．
故答案為：

π

4

或

3π

4

．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查拋物線的定義的應(yīng)用，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查方程思想與韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．