Question

（本小題滿分12分）
已知F₁(-2,0)，F₂(2,0)，點P滿足∣PF₁∣-∣PF₂∣=2，記點P的軌跡為E.
（I）求軌跡E的方程
（II）若直線過點F₂且與軌跡E交于P，Q兩點.無論直線繞點F₂怎樣轉動，在x軸上總存在定點M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求實數m的值.

Answer 1

(Ⅰ)易知軌跡E為雙曲線右支，其方程為.
(Ⅱ)設：，代入上式整理得.
設.則有:

∵，且MP⊥MQ.
∴
.由題知此式對適合的
任意t都成立，故
 .

略