Question

【題目】已知F是拋物線的焦點，點M是拋物線上的定點，且.

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線AB與拋物線C交于不同兩點，直線與AB平行，且與拋物線C相切，切點為N，試問△ABN的面積是否是定值.若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定值

【解析】

（1）設，由，求得，代入拋物線的方程，求得的值，即可得到拋物線的方程；

（2）設其方程為，聯立方程組，求得，得到Q，

由條件設切線的方程為，聯立方程組，利用根與系數的關系，求得切點N，再由軸，求得及，利用面積公式，即可求解。

（1）設，由題知，所以，

所以，即，

代入中得，解得，

所以拋物線C的方程為。

（2）由題意知，直線AB的斜率存在，設其方程為，

由，整理得，則，

所以，

設AB的中點為Q，則點Q的坐標為，

由條件設切線的方程為，則，整理得。

因為直線與拋物線相切，所以，所以，

所以，所以，所以，

所以切點N的坐標為，

所以軸，所以，

因為，

又因為，所以，

所以，

所以的面積為定值，且定值為