Question

已知函數g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的導函數為f（x），且f（0）•f（1）＞0，a+b+c=0，設x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，則x₁²+x₂²的取值范圍為（　　）

• A、[

  4

  9

  ，

  10

  9

  ]
• B、（

  4

  9

  ，

  10

  9

  ）
• C、[

  2

  3

  ，

  10

  3

  ]
• D、（

  2

  3

  ，

  10

  3

  ）

Answer 1

考點：導數的運算,函數的零點與方程根的關系

專題：導數的概念及應用

分析：由求出函數的導數g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，利用根與系數之間的關系得到x₁+x₂，x₁x₂的值，將x₁²+x₂²進行轉化即可求出結論．

解答： 解：∵g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個根，故x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

4b2

9a2

-

2c

3a

=

4b2-6ac

9a2

，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
得x₁²+x₂²=

4b2-6a(-a-b)

9a2

=

4b2+6a2+6ab

9a2

=

2

9

[2(

b

a

)2+3•

b

a

+3]=

4

9

（

b

a

+

3

4

）²+

25

36

又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即（a+b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，兩邊同除以a²得，
∴（

b

a

+1）（

b

a

+2）＜0，
∴-2＜

b

a

＜-1，
∴

4

9

＜

4

9

（

b

a

+

3

4

）²+

25

36

＜

10

9

∴x₁²+x₂²的取值范圍為（

4

9

，

10

9

）
故選：B

點評：本題考查根與系數的關系，著重考查韋達定理的使用，難點在于對條件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察數學思維的深刻性與靈活性，屬于難題．