Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別是雙曲線C：＝1(a，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，B是虛軸的端點(diǎn)，直線F₁B與C的兩條漸近線分別交于P、Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M.若MF₂＝F₁F₂，則C的離心率是________．

Answer 1

設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁(－c，0)，F(xiàn)₂(c，0)．
∵B(0，b)，∴F₁B所在的直線為－＝1.①
雙曲線漸近線為y＝±x，由得Q.
由得P，∴PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
由a²＋b²＝c²得，PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)可化為.
直線F₁B的斜率為k＝，∴PQ的垂直平分線為y－＝－.
令y＝0，得x＝＋c，∴M，∴F₂M＝.
由MF₂＝F₁F₂得＝＝2c，即3a²＝2c²，∴e²＝，∴e＝