Question

已知直線L與拋物線C：x²=4y相切于點(diǎn)P（2，1），且與x軸交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)B（2，0）
（1）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M滿足，點(diǎn)M的軌跡K．若過點(diǎn)B的直線L₁（斜率不等于0）與軌跡K交于不同的兩點(diǎn)E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x²=4y得y=x²，用導(dǎo)數(shù)法求得直線l的斜率，再求得其方程，令y=0得點(diǎn)A坐標(biāo)；
（2）設(shè)M（x，y由=0得得+y²=1．知軌跡K是橢圓，設(shè)
由兩個(gè)三角形同底，則，即為兩個(gè)三角形面積之比，只要求得λ即可．
解答：解：（1）由x²=4y得y=x²，y′=x．
∴直線l的斜率為y′|x=2=1．
故l的方程為y=x-1，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）．（4分）

（2）設(shè)M（x，y），則=（1，0），=（x-2，y），=（x-1，y），
由=0得（x-2）+y•0+=0，
整理，得+y²=1．軌跡K是橢圓．（9分）
設(shè)
從而得
因?yàn)镋、F都在橢圓上，所以滿足橢圓方程：

消去y₂，并整理得①（11分）
由題意，設(shè)過點(diǎn)B的直線方程：x=ty+2，
當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，
即（4t）²-4•（t²+2）•2=0⇒t²=2，取得切點(diǎn)（1，）
所以知
聯(lián)系①式知，
即△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是．（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法求曲線的切線，和用向量法研究直線與曲線的位置關(guān)系．