Question

已知直線L與拋物線C：x²=4y相切于點P（2，1），且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B（2，0）
（1）求點A的橫坐標．
（2）設動點M滿足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，點M的軌跡K．若過點B的直線L₁（斜率不等于0）與軌跡K交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由x²=4y得y=

1

4

x²，用導數法求得直線l的斜率，再求得其方程，令y=0得點A坐標；
（2）設M（x，y由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0=0得得

x2

2

+y²=1．知軌跡K是橢圓，設E(x1，y1)，F(x2，y2)，

BE

=λ•

BF

，x2＜x1，0＜λ＜1
由兩個三角形同底，則

BE

=λ•

BF

，即為兩個三角形面積之比，只要求得λ即可．

解答：解：（1）由x²=4y得y=

1

4

x²，y′=

1

2

x．
∴直線l的斜率為y′|x=2=1．
故l的方程為y=x-1，
∴點A坐標為（1，0）．（4分）

（2）設M（x，y），則

AB

=（1，0），

BM

=（x-2，y），

AM

=（x-1，y），
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0=0得（x-2）+y•0+

2

•

(x-1)2+y2

=0，
整理，得

x2

2

+y²=1．軌跡K是橢圓．（9分）
設E(x1，y1)，F(x2，y2)，

BE

=λ•

BF

，x2＜x1，0＜λ＜1
從而得

x1-2=λ(x2-2) y1=λy2

?

x1=λx2+(2-2λ) y1=λy2

因為E、F都在橢圓上，所以滿足橢圓方程：

(λx2+(2-2λ)2+2•(λy2)2=2

&x22+2•y22=2
消去y₂，并整理得

1

2λ

=

3

2

-x2①（11分）
由題意，設過點B的直線方程：x=ty+2，
當直線與橢圓相切時，

x=ty+2 x2+2y2=2

?(t2+2)y2+4ty+2=0?△y=0
即（4t）²-4•（t²+2）•2=0?t²=2，取t=-

2

，?y=

2

2

?x=1得切點（1，

2

2

）
所以知x2∈(-

2

，1)?

3

2

-x2∈(

1

2

，

3

2

+

2

)
聯系①式知，

1

2λ

∈(

1

2

，

3+2 2

2

)?λ∈(3-2

2

，1)
即△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是(3-2

2

，1)．（15分）

點評：本題主要考查導數法求曲線的切線，和用向量法研究直線與曲線的位置關系．