Question

數列的前項和為，且是和的等差中項，等差數列滿足，.
（1）求數列、的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，證明：.

Answer 1

（1），；（2）證明見解析．

解析試題分析：（1）由題中所給條件得，即，這是前項和與項的關系，我們可以利用把此式轉化為數列的項的遞推式，從而知數列是等比數列，通項易得，這樣等差數列的，，由基本量法可求得等差數列的通項公式；（2）數列是由等差數列相鄰兩項相乘后取倒數所得，其前項和應該用裂項相消法求得，而當求得后，所要證的不等式就顯而易見成立了.
（1）∵是和的等差中項，∴
當時，，∴
當時，，∴ ，即
∴數列是以為首項，為公比的等比數列，∴， 
設的公差為，，，∴  ∴   6分
（2）    
∴ 
∵,∴                                12分
考點：（1）已知數列前項和與項的關系，求通項公式，等差數列、等比數列通項公式；（2）裂項相消法求和與不等式。