Question

已知是各項為不同的正數的等差數列，成等差數列，又．
（1）證明：為等比數列；
（2）如果數列前3項的和為，求數列的首項和公差；
（3）在（2）小題的前題下，令為數列的前項和，求．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）；（3）．

解析試題分析：（1）設數列的公差為，根據成等差及的通項公式得到，進而根據等差數列的通項公式得到即，進而得到，從而可證明得數列為等比數列；（2）根據（1）中求得的及即可計算出、的值；（3）由（1）（2）中的計算得到，，進而可得，該通項是一個等差與一個等比的通項公式相乘所得，故用錯位相減法進行求和即可．
試題解析：（1）設數列的公差為，由成等差數列得，所以 
所以，所以
因為，所以       2分
∴，則
∴且
∴為等比數列                             4分
（2）依條件可得，解得，所以       7分
（3）由（2）得，               9分



作差得


           14分．
考點：1．等差數列的通項公式；2．等比數列的通項公式及前項和公式；3．應用錯位相減法進行數列求和．