Question

設向量

a

=（λ+2，λ²-

3

cos2α），

b

=（m，

m

2

+sinαcosα）其中λ，m，α為實數．
（Ⅰ）若α=

π

12

，且

a

⊥

b

，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若

a

=2

b

，求

λ

m

的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,數量積判斷兩個平面向量的垂直關系

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由向量垂直的條件，化簡得到關于λ的方程，對系數討論，當m=-

1

2

時，當m≠-

1

2

時，△≥0，解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）由向量共線知識，得到λ+2=2m且λ2-

3

cos2α=m+2sinαcosα，消去λ，得m的式子，運用三角函數的二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡，再由正弦函數的值域，解關于m的不等式，即可得到所求范圍．

解答： 解：（Ⅰ）α=

π

12

時，

a

=（λ+2，λ²-

3

2

），

b

=（m，

m

2

+

1

4

），
由于

a

⊥

b

，則

a

•

b

=0，即有（λ+2）m+（λ2-

3

2

）（

m

2

+

1

4

）=0，
即有

2m+1

4

λ2+mλ+

10m-3

8

=0對一切λ∈R均有解，
當m=-

1

2

時，λ=2成立，
當m≠-

1

2

時，△=m²-4×

2m+1

4

×

10m-3

8

≥0，

-1- 10

6

≤m≤

-1+ 10

6

，且m≠-

1

2

，
綜上，可得，m的取值范圍是[

-1- 10

6

，

-1+ 10

6

]；
（Ⅱ）

a

=2

b

，則λ+2=2m且λ2-

3

cos2α=m+2sinαcosα，
消去λ，得（2m-2）²-m=sin2α+

3

cos2α，
即有4m²-9m+4=2sin（2α+

π

3

）∈[-2，2]，
由-2≤4m²-9m+4≤2，解得，

1

4

≤m≤2，
則

λ

m

=

2m-2

m

=2-

2

m

∈[-6，1]．
則有

λ

m

的取值范圍是[-6，1]．

點評：本題考查向量共線和垂直的條件，考查三角函數的化簡和求值，考查運算能力，屬于中檔題．