Question

證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

（n≥1）．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法,推理和證明

分析：利用數學歸納法證明：（1）當n=1時，易證左邊-右邊＞0不等式成立；
（2）假設n=k（k∈N^*）不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞1n（k+1）+

k

2(k+1)

（k≥1）成立，去推證當n=k+1時，不等式也成立即可．

解答： 證明：（1）當n=1時，左邊-右邊=1-（ln2+

1

4

）=

3

4

-ln2=

1

4

（lne³-ln16）＞0不等式成立，
（2）假設n=k（k∈N^*）不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞1n（k+1）+

k

2(k+1)

（k≥1）成立，
那么，當n=k+1時，左邊=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞1n（k+1）+

k

2(k+1)

+

1

k+1

，
下面證明：[ln（k+1）+

k

2(k+1)

+

1

k+1

]≥ln[（k+1）+1]+

k+1

2(k+2)

，
即證

k+2

k+1

-

k+1

k+2

-2ln

k+2

k+1

≥0．
構造函數f（x）=x-

1

x

-2lnx（x＞1），
則f′（x）=1+

1

x2

-

2

x

=（

1

x

-1）²≥0（當x=1時取“=”），
所以，f（x）=x-

1

x

-2lnx（x＞1）為增函數，
所以當x≥1時，f（x）≥f（1）=0，即x-

1

x

-2lnx≥0，
令x=

k+2

k+1

，則

k+2

k+1

-

k+1

k+2

-2ln

k+2

k+1

≥0，
即當n=k+1時，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞ln[（k+1）+1]+

k+1

2(k+2)

，
綜上所述，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

（n≥1）．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查數學歸納法的應用，證明當n=k+1時，不等式也成立是難點，構造函數f（x）=x-

1

x

-2lnx（x＞1），利用導數法分析得到該函數為增函數是關鍵，屬于難題．