Question

【題目】已知函數f（x）= sinxcosx+cos2x，x∈R．
（1）把函數f（x）的圖象向右平移 個單位，得到函數g（x）的圖象，求g（x）在[0， ]上的最大值；
（2）在△ABC中，角A，B，C對應的三邊分別為a，b，c，b= ，f（ ）=1，S△ABC=3 ，求a和c的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得：f（x）= sinxcosx+cos2x= sin2x+ cos2x+ =sin（2x+ ）+ ．

把函數f（x）的圖象向右平移 個單位，可得g（x）=sin[2（x﹣ ）+ ]+ =sin（2x﹣ ）+ ．

∵x∈[0， ]，∴2x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴當2x﹣ = 時，即x= ，g（x）取得最大值

（2）解：∵f（ ）=1，

∴f（ ）=sin（B+ ）+ =1，sin（B+ ）= ，

∵0＜B＜π， ＜B+ ＜ ，

∴B+ = ，B= ，

∵S△ABC=3 ，

∴ =3 ，解得：ac=12．①

又由余弦定理可得：b2=37=a2+c2﹣2accos ，可得：a2+c2=25．②

由①②解得：a=4，c=3，或a=3，c=4…

【解析】（1）由三角函數恒等變換的應用化簡可得f（x）=sin（2x+ ）+ ．利用平移變換可得g（x）=sin（2x﹣ ）+ ．由x∈[0， ]，可得2x﹣ ∈[﹣ ， ]，利用正弦函數的圖象和性質即可得解．（2）由f（ ）=1，可得sin（B+ ）= ，結合范圍0＜B＜π可求B= ，由S△ABC=3 ，可解得：ac=12．又由余弦定理可得：a2+c2=25．聯立方程即可解得a，c的值．
【考點精析】本題主要考查了兩角和與差的正弦公式和正弦定理的定義的相關知識點，需要掌握兩角和與差的正弦公式：；正弦定理:才能正確解答此題．