Question

【題目】如圖，⊙O 為△ABC 的外接圓，AM、AT分別為中線和角平分線，過點B 、C 的⊙O的切線相交于點P ， 聯結AP，與 BC和⊙O分別相交于點D 、E .求證：點T是△AME 的內心 .

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

先證明 AT是∠MAE的平分線，即證∠BAM=∠CAP .

如圖 ，作CF⊥AB，垂足為F，聯結MF.則.

又∠BAC =∠BCP，則.

所以.

又∠AFM=180°-∠BFM=180°-∠FBC=∠ACP ，

所以， △AFM ∽△ACP .則∠BAM=∠CAP .

再證明MD是∠AME 的平分線.

如圖，由于 M是BC的中點，所以PO經過點M，且OP⊥BC聯結OA、OC、OE .

由切割線定理及射影定理，可得.

所以M 、O 、A、E 四點共圓.于是∠OMA =∠OEA =∠OAE =∠PME .

故∠AMD =∠EMD，即點 T 是△AME的內心.