Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)A滿足：①當x∈[1，3）時，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．設關于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點從小到大依次為x₁，x₂，…，x_n，…，若a∈（1，3），則x₁+x₂+…+x₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意可得，當x∈[3^n-1，3ⁿ），（n∈N^*）時，f（x）=3^n-1-|x-2•3^n-1|，作函數(shù)圖象可得其和為6（3¹⁰⁰⁷-1）．

解答： 解：當x∈[3^n-1，3ⁿ），（n∈N^*）時，
f（x）=3f（

x

3

）=3²f（

x

32

）=…=3^n-1f（

x

3n-1

）
=3^n-1[1-|

x

3n-1

-2|]=3^n-1-|x-2•3^n-1|，
作函數(shù)f（x）的圖象如下，

則其零點從小到大，
x₁+x₂=4×3，x₃+x₄=4×3²，x₂₀₁₃+x₂₀₁₄=4×3¹⁰⁰⁷；
故x₁+x₂+…+x₂₀₁₄=4×（3+3²+…+3¹⁰⁰⁷）
=6（3¹⁰⁰⁷-1）；
故答案為：6（3¹⁰⁰⁷-1）．

點評：本題考查了函數(shù)的零點的應用，屬于基礎題．