Question

已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，主視圖、側視圖是斜邊長為

2

的等腰直角三角形，該幾何體的頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是（　　）

• A．

  4π

  3

• B．

  5π

  3

• C．

  7π

  2

• D．

  9π

  2

Answer 1

分析：由三視圖可以看出，幾何體是正四棱錐，求出高，設出球心，通過勾股定理求出球的半徑，再求球的表面積則可．

解答：解：由三視圖知幾何體是一個正四棱錐，四棱錐的底面是一個邊長為

2

正方形，高為

2

2

，
球心在高的延長線上，球心到底面的距離為h，所以(h+

2

2

)2-h2=1，
h=

2

4

，
故此幾何體外接球的半徑為

3 2

4

其表面積為4×π×(

3 2

4

)2=

9π

2

故選D．

點評：本題考點是由三視圖求幾何體的面積、體積，考查對三視圖的理解與應用，主要考查三視圖與實物圖之間的關系，用三視圖中的數據還原出實物圖的數據，再根據相關的公式求表面積與體積，本題求的是幾何體外接球的表面積．三視圖的投影規則是：“主視、俯視 長對正；主視、左視高平齊，左視、俯視 寬相等”．三視圖是高考的新增考點，不時出現在高考試題中，應予以重視．屬基礎題．