Question

已知橢圓M的對稱軸為坐標軸，且拋物線的焦點是橢圓M的一個焦點，又點A在橢圓M上．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知直線l的方向向量為，若直線l與橢圓M交于B、C兩點，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出拋物線的焦點坐標，進而設出橢圓方程，再把點A代入方程求出a，即可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）先利用直線l的方向向量為，求出直線的斜率，設出直線方程；再與橢圓方程聯立，求出B、C兩點的坐標與m的關系；再求出B、C兩點之間的線段長以及點A到BC的距離，代入△ABC面積的表達式，再結合不等式的有關知識求出△ABC面積的最大值即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知拋物線的焦點為，故設橢圓方程為．
將點代入方程得，整理得a⁴-5a²+4=0，
解得a²=4或a²=1（舍）．
故所求橢圓方程為．（6分）
（Ⅱ）設直線BC的方程為，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入橢圓方程并化簡得，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0，可得m²＜8．（*）
由，
故．
又點A到BC的距離為，
故，
當且僅當2m²=16-2m²，即m=±2時取等號（滿足*式）
所以△ABC面積的最大值為．（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．第一問涉及到了求拋物線的焦點坐標，在求拋物線的焦點坐標時，一定注意先把拋物線方程轉化為標準形式，再求解，避免出錯．