Question

已知橢圓M的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且拋物線x2=-4

2

y的焦點(diǎn)是橢圓M的一個(gè)焦點(diǎn)，又點(diǎn)A(1，

2

)在橢圓M上．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知直線l的方向向量為(1，

2

)，若直線l與橢圓M交于B、C兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)出橢圓方程，再把點(diǎn)A(1，

2

)代入方程求出a，即可求橢圓M的方程；
（Ⅱ）先利用直線l的方向向量為(1，

2

)，求出直線的斜率，設(shè)出直線方程；再與橢圓方程聯(lián)立，求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)與m的關(guān)系；再求出B、C兩點(diǎn)之間的線段長以及點(diǎn)A到BC的距離，代入△ABC面積的表達(dá)式，再結(jié)合不等式的有關(guān)知識(shí)求出△ABC面積的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知拋物線的焦點(diǎn)為(0，-

2

)，故設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1．
將點(diǎn)A(1，

2

)代入方程得

2

a2

+

1

a2-2

=1，整理得a⁴-5a²+4=0，
解得a²=4或a²=1（舍）．
故所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1．（6分）
（Ⅱ）設(shè)直線BC的方程為y=

2

x+m，設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0，可得m²＜8．（*）
由x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

，
故|BC|=

3

|x1-x2|=

3 • 16-2m2

2

．
又點(diǎn)A到BC的距離為d=

|m|

3

，
故S△ABC=

1

2

|BC|•d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

•

2m2+(16-2m2)

2

=

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)2m²=16-2m²，即m=±2時(shí)取等號(hào)（滿足*式）
所以△ABC面積的最大值為

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．第一問涉及到了求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，在求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，一定注意先把拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再求解，避免出錯(cuò)．