Question

函數f（x）=x²-2x，x∈[-1，m]圖象上的最高點為A，最低點為B，A、B兩點之間的距離是2

5

，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先將函數配方得f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，得到其對稱軸，明確其單調性，分三種情況分析，①當m≤1時，函數在區間上是減函數，最高點為（-1，3），最低點為（m，m²-2m），頂點為（1，-1），先研究最高點與頂點間的距離②當m＞3時，最高點為（m，m²-2m），最低點為頂點（1，-1），一個動點與定點間的距離不定，③當1≤m≤3時最高點為（-1，3），最低點為頂點（1，-1）滿足條件．

解答：解：∵函數f（x）=x²-2x=（x-1）²-1
①當m≤1時，函數在區間上是減函數
∴最高點為（-1，3），最低點為（m，m²-2m），頂點為（1，-1）
而最高點與頂點間的距離為2

5

該情況不成立
②當m＞3時，最高點為（m，m²-2m），最低點為頂點（1，-1）
此時，最高點與最低點間距離不確定
故該情況不成立
③當1≤m≤3時
最高點為（-1，3），最低點為頂點（1，-1）
故滿足條件
綜上：實數m的取值范圍是1≤m≤3
故答案為：1≤m≤3

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，同時，還考查了分類討論思想和運算能力，分析問題的能力，屬中檔題．