Question

【題目】若一個三角形的邊長與面積都是整數，則稱為“海倫三角形”；三邊長互質的海倫三角形，稱為“本原海倫三角形”；邊長都不是3的倍數的本原海倫三角形，稱為“奇異三角形”.

（1）求奇異三角形的最小邊長的最小值；

（2）求證：等腰的奇異三角形有無數個；

（3）問：非等腰的奇異三角形有多少個？

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）設、、()是一個奇異三角形的三邊長.則由海海倫公式知

. ①

因為，所以，、、中至少有一個為奇數.如果、、中有奇數個奇數，則、、、都是奇數，與式①矛盾.

因此，、、中恰有兩個為奇數.

若，由，知.

因為，所以，.

此時，、、中有奇數個奇數，矛盾.

若，由，知.

因為，所以，或.

當時，，，因此，.

但，矛盾.

當時，、一奇一偶.

故、、中恰有一個奇數，矛盾.

若，則、都是奇數.

由，知.

又，于是，或.

當時，，，所以，為偶數.

令.則，.

但，于是，，，故，矛盾.

當時，，所以，.令，則.

若，則，與奇異三角形矛盾.若，則，也與奇異三角形矛盾.

綜上所述，.

又（5，5，8）是奇異三角形，故奇異三角形的最小邊長的最小值為5.

（2）若、，，、一奇一偶，則是奇異三角形.

事實上，為整數.

其次，因、一奇一偶，則.

故.

最后，因為，且，故、中恰有一個是3的倍數，所以，、都不是3的倍數.

特別地，取，.則是奇異三角形.

類似知，若、，，，，、一奇一偶，則是奇異三角形.

特別地，取，，則是奇異三角形.

（3）非等腰的奇異三角形亦有無數個.

取，令，，.

因為為奇數，所以，、、為整數，且顯然有.

又因為不是3的倍數，所以，、、都不是3的倍數.

最后，由于，于是，、都不是5的倍數，進而，由，知.

經計算可得為整數.

所以，（、、）是非等腰奇異三角形.