Question

【題目】已知函數f（x）=3x+λ3﹣x（λ∈R）
（1）當λ=﹣4時，求解方程f（x）=3；
（2）根據λ的不同取值，討論函數的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當λ=﹣4時，由f（x）=3，得3x﹣43﹣x=3．

令t=3x＞0，則原方程可化為t2﹣3t﹣4=0，解得t=4，或t=﹣1（舍去），

所以，x=log34

（2）解：函數 的定義域為R，當λ=1時，f（x）=3x+3﹣x，f（﹣x）=f（x），

函數為偶函數；

當λ=﹣1時，f（x）=3x﹣3﹣x，f（﹣x）=﹣f（x），函數為奇函數；

當|λ|≠1時， ，

此時f（﹣1）≠﹣f（1）且f（﹣1）≠f（1），所以函數為非奇非偶函數

【解析】（1）當λ=﹣4時，令t=3x＞0，則原方程可化為t2﹣3t﹣4=0，求得t的值，可得x的值．（2）函數的定義域為R，分當λ=1、當λ=﹣1、當|λ|≠1三種情況，分別根據奇偶函數的定義進行判斷，可得結論．
【考點精析】本題主要考查了函數的奇偶性的相關知識點，需要掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能正確解答此題．