Question

【題目】已知函數f（x）= ，
（1）若a=﹣1，求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣1時，f（x）= ，

令g（x）=﹣x2﹣4x+3，

由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上單調遞增，在（﹣2，+∞）上單調遞減，

而y= t在R上單調遞減，

所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調遞減，在（﹣2，+∞）上 單調遞增，

即函數f（ x）的遞增區間是（﹣2，+∞），遞減區間是（﹣∞，﹣2 ）

（2）解：令h（x）=ax2﹣4x+3，y= h（x），由于f（x）有最大值3，

所以 h（x）應有最小值﹣1，

因此 =﹣1，

解得a=1．

即當f（x）有最大值3時，a的值等于1

（3）解：由指數函數的性質知，

要使y=h（x）的值域為（0，+∞）．

應使h（x）=ax2﹣4x+3的值域為R，

因此只能有a=0．

因為若a≠0，則h（x）為二次函數，其值域不可能為R．

故 a的取值范圍是{0}

【解析】（1）當a=﹣1時，f（x）= ，令g（x）=﹣x2﹣4x+3，結合指數函數的單調性，二次函數的單調性和復合函數的單調性，可得f（x）的單調區間；（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x） ， 由于f（x）有最大值3，所以 h（x）應有最小值﹣1，進而可得a的值．（3）由指數函數的性質知，要使y=h（x）的值域為（0，+∞）．應使h（x）=ax2﹣4x+3的值域為R ， 進而可得a的取值范圍．