Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于， 兩點(diǎn)，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）本問考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，代入得，又離心率，于是可以求出的值，得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）點(diǎn)在軸上的射影的坐標(biāo)為，過點(diǎn)N的直線分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)斜率為0時(shí)，經(jīng)分析，不滿足，當(dāng)的斜率不為0時(shí)，可設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消元，得到關(guān)于的一元二次方程，設(shè)， ，由，得，于是可以根據(jù)前面的關(guān)系式求出的值，得到直線方程.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得， ，解得， ，

所以橢圓Γ的方程為．

（Ⅱ）由已知N的坐標(biāo)為，

當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線為軸，易知不成立．

當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，

代入，整理得， ，

設(shè)， 則

，① ，②

由，得，③

由①②③解得．

所以直線的方程為，即．