Question

【題目】設函數， ．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，討論函數與圖像的交點個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出函數的導數，解關于導函數的不等式，從而求出函數的單調區間；
（2）問題轉化為求函數,的零點個數問題，通過求導，得到函數F（x）的單調區間，求出F（x）的極小值，從而求出函數h（x）的零點個數即f（x）和g（x）的交點個數．

試題解析：

（Ⅰ）解：函數的定義域為， ，

當時， ，所以函數的單調增區間是，無減區間；

當時， ；當時， ，函數的單調遞減；當時， ，函數的單調遞增.

綜上：當時，函數的單調增區間是，無減區間；當時，函數的單調增區間是，減區間是.

（Ⅱ） 解：令，問題等價于求函數的零點個數，

當時， ，有唯一零點；當時， ，

當時， ，函數為減函數，注意到， ，

所以有唯一零點；

當時， 或時， 時，

所以函數在和單調遞減，在單調遞增，注意到，

，所以有唯一零點；

當時， 或時， 時，

所以函數在和單調遞減，在單調遞增，意到，

所以，而，

所以有唯一零點.

綜上，函數有唯一零點，即兩函數圖象總有一個交點.