Question

【題目】過拋物線的焦點作直線與拋物線交于點、．

（1）求證：不是直角三角形．

（2）當的斜率為時，拋物線上是否存在點，使為直角三角形？若存在，求出所有的點；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在4個點，使為直角三角形： ，，，．

【解析】

（1）如圖，拋物線的焦點為，

過點且與拋物線交于點、的所有直線可設為，

與拋物線聯立．消去得，有．

進而，．

又，得為鈍角．

故不是直角三角形．

（2）當直線的方程為時，解方程組，

可得、．

假設拋物線上存在點，使為直角三角形，分三種情況討論．

（i）為直角．

此時，以為直徑的圓的方程為．

把點、、的坐標代入得

．

整理得．

因為點、在圓上，故當時，必為方程的解．

注意到，

故方程可分解為．

異于點、的點必對應方程的解，有，．

故使的點有兩個，．

（ii）為直角．

此時，以為直徑的圓的方程為．

把點、、的坐標代入得．

整理得．

解得對應點，對應點．

故存在使為直角三角形．

（iii）為直角．

此時，以為直徑的圓的方程為．

把點、、的坐標代入得．

整理得．

解得對應點，對應點．

故存在使為直角三角形．

綜上知，存在4個點，使為直角三角形：

，，，．