Question

【題目】已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋（c＞0，n∈N*），

（Ⅰ）證明：an＋1＞an≥1；

（Ⅱ）若對任意n∈N*，都有,證明：（ⅰ）對于任意m∈N*，當n≥m時，

（ⅱ）

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意，可采用數學歸納法，以及放縮法對不等式進行證明，從而問題可得解；（Ⅱ）在第（i）中，根據（Ⅰ）的結論，采用放縮法對數列的通項進行放大，再用累加法進行求解即可；在第（ii）中，對參數進行分段討論，結合（i）中的結論，從而問題可得解.

試題解析：（Ⅰ）因為c＞0，所以 an＋1＝an＋＞an（n∈N*），

下面用數學歸納法證明an≥1．

①當n＝1時，a1＝1≥1；

②假設當n＝k時，ak≥1，

則當n＝k＋1時，ak＋1＝ak＋＞ak≥1．

所以，當n∈N*時，an≥1．

所以 an＋1＞an≥1．

（Ⅱ）（ⅰ）當n≥m時，an≥am，

所以 an＋1＝an＋≤an＋，

所以 an＋1－an≤，累加得 an－am≤(n－m)，

所以 ．

（ⅱ）若，當時，

，所以．

所以當時，．

所以當時，，矛盾．

所以 ．

因為 ，

所以．