Question

【題目】已知橢圓C： =1過點A（2，0），B（0，1）兩點．
（1）求橢圓C的方程及離心率；
（2）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N，求證：四邊形ABNM的面積為定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵橢圓C： =1過點A（2，0），B（0，1）兩點，

∴a=2，b=1，則 = ，

∴橢圓C的方程為 ，離心率為e=

（2）

證明：如圖，

設(shè)P（x0，y0），則 ，PA所在直線方程為 ，

取x=0，得 ；

，PB所在直線方程為 ，

取y=0，得 ．

∴|AN|= ，

|BM|=1﹣ ．

∴ = = =

= = ．

∴四邊形ABNM的面積為定值2．

【解析】（1）由題意可得a=2，b=1，則 ，則橢圓C的方程可求，離心率為e= ；（2）設(shè)P（x0 ， y0），求出PA、PB所在直線方程，得到M，N的坐標(biāo)，求得|AN|，|BM|．由 ，結(jié)合P在橢圓上求得四邊形ABNM的面積為定值2．；本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查計算能力與推理論證能力，是中檔題．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．