Question

過定點(diǎn)（1，2）一定可作兩條直線與圓x²+y²+kx+2y+k²-15=0相切，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，由過已知點(diǎn)總可以作圓的兩條切線，得到點(diǎn)在圓外，故把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中得到一個(gè)關(guān)系式，讓其大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集，求出兩解集的并集即為實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x+

k

2

）²+（y+1）²=16-

3

4

k2，
由過定點(diǎn)（1，2）可作圓的2條切線，可知點(diǎn)（1，2）應(yīng)在已知圓的外部，
把點(diǎn)代入圓方程得：（1+

k

2

）²+（2+1）²＞16-

3

4

k2＞0，
∴2＜k＜

8 3

3

或-

8 3

3

＜k＜-3；
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2，

8 3

3

）∪（-

8 3

3

，-3）．
故答案為：（2，

8 3

3

）∪（-

8 3

3

，-3）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，一元二次不等式的解法．理解過已知點(diǎn)總利用作圓的兩條切線，得到把點(diǎn)坐標(biāo)代入圓方程其值大于0是解本題的關(guān)鍵．