Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，短軸長為，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設過右焦點與軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點．在線段上是否存在點，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，

請說明理由；

（3）設點在橢圓上運動，，且點到直線的距離等于，試求動點的軌

跡方程．

Answer 1

【答案】(1) .

(2).

(3) .

【解析】

分析：（1）橢圓方程可設為，利用兩個焦點和短軸的兩個端點恰為正方形的頂點，且短軸長為2，即可求得橢圓方程；
（2）假設在線段上存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．因為直線與軸不垂直，所以可設直線的方程為，，與橢圓方程聯立，再利用韋達定理．根據以為鄰邊的平行四邊形是菱形等價于得 ，即 ，，由此可確定的取值范圍．

（3）設，由得 ①

又點在橢圓上，得 ②

聯立①、②得 ，根據點到直線的距離等于，由此能求出D點軌跡方程．

詳解：

（1，由題意得，

所以，

因此所求橢圓方程為．

（2）假設在線段上存在點,使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形．

因為直線與軸不垂直，所以可設直線的方程為，坐標分別為

．

由 得 ．

由一元二次方程根與系數的關系得 ．

由于，其中，

由得 ，即 ，

因此．

（3）設，由得 ①

又點在橢圓上，得 ②

聯立①、②得 ③

由，得，

兩邊平方得 ，則得．

即 ．

將③代入上式得 ，

化簡，得點的軌跡方程是 ．