【題目】已知函數
.
（1）求
的單調區間；
（2）證明：當
時，方程
在區間
上只有一個解；
（3）設
，其中.若
恒成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）在
上單調遞減，在區間
上單調遞增.（2）見解析(3) 
【解析】分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導函數，根據函數的單調性，得到函數
在
的零點個數，求出方程在的解的個數即可；
（3）設
，
，根據函數的單調性求出函數的最小值，
，求出
的范圍即可.
詳解：（1）由已知
.
所以，在區間
上
，函數
在上單調遞減，
在區間上
，函數在區間上單調遞增.
（2）設
，.
，由（1）知，函數在區間上單調遞增.
且
，
.
所以，在區間上只有一個零點，方程
在區間上只有一個解.
（3）設
，，
定義域為
，
，
令
，則
，
由（2）知，
在區間上只有一個零點，是增函數，
不妨設的零點為
，則
，
所以，
與在區間上的情況如下：
|
|
|
|
| - | 0 | + |
|
|
|
|
所以，函數的最小值為
，
，
由，得
，
所以
.
依題意
，即
，解得
，
所以，的取值范圍為.
發散思維新課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=logm
（m＞0且m≠1），
（I）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（II）若m=
，判斷f（x）在（3，+∞）的單調性（不用證明）；
（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域為[logmm（β-1），logm（α-1）]？若存在，求出此時m的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我國南宋時期的著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》中提出了秦九韶算法來計算多項式的值，在執行如圖算法的程序框圖時，若輸入的n=5，x=2，則輸出V的值為（ ） 
A.15
B.31
C.63
D.127
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在區間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是 ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個盒子內裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個數字，這8個數字各不相同，且奇數有3個，偶數有5個．每張卡片被取出的概率相等．
（Ⅰ）如果從盒子中一次隨機取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數字相加得到一個新數，求所得新數是偶數的概率；
（Ⅱ）現從盒子中一次隨機取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數是偶數則停止取出卡片，否則繼續取出卡片．設取出了
次才停止取出卡片，求的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有甲乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績后，得到如下的列聯表.
優秀 | 非優秀 | 總計 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
總計 | 105 |
已知在全部105人中隨機抽取1人為優秀的概率為
.
(1)請完成上面的列聯表；
(2)根據列聯表的數據，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”？
參考公式：K2＝
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在區間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是 ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=（a﹣bx3）ex﹣ 
，且函數f（x）的圖象在點（1，e）處的切線與直線x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求證：當x∈（0，1）時，f（x）＞2．
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