Question

【題目】設函數f(x)＝|x－a|.

(1)當a＝2時，解不等式f(x)≥4－|x－1|；

(2)若f(x)≤1的解集為[0,2]，(m>0，n>0)，求證：m＋2n≥4.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析.

【解析】

（1）利用零點分段法討論的取值范圍，去絕對值解不等式即可.

（2）根據不等式的解集求出a，再利用基本不等式即可求解.

(1)當a＝2時，不等式為|x－2|＋|x－1|≥4.

當x≥2時，原不等式化為2x－3≥4，解得x≥，所以x≥；

當1≤x＜2時，原不等式化為1≥4，無解；

當x<1時，原不等式化為3－2x≥4，

解得x≤－，所以x≤－.

所以原不等式的解集為.

(2)證明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，

而f(x)≤1的解集是[0,2]，

所以，解得a＝1，所以＝1(m>0，n>0)．

所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋，

當且僅當m＝2n時，等號成立