Question

【題目】已知等比數列的前n項和為，且當時，是與2m的等差中項為實數.

（1）求m的值及數列的通項公式；

（2）令，是否存在正整數k，使得對任意正整數n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，4.

【解析】

（1）根據等差中項的性質列方程，求得的表達式.利用，結合是等比數列，求得的值及數列的通項公式.

（2）由（1）求得的表達式，將不等式左邊看成，利用差比較法判斷出的單調性，由此求得的最小值，進而求得的最大值.

1是與2m的等差中項， ，即，

當時，，

當時，，是等比數列，，則，

，且數列的通項公式為.

2存在正整數k，使不等式恒成立，k的最大值為4.

，

數列單調遞增，，

由不等式恒成立得：，.

故存在正整數k，使不等式恒成立，k的最大值為4.