Question

設函數f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐標為

π

12

．
（1）求ω的值；   
（2）如果f（x）在區間[-

π

6

，

5π

12

]上的最小值為

3

，求a的值；
（3）證明：直線5x-2y+c=0與函數y=f（x）的圖象不相切．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：（1）化簡三角函數式，求出周期，利用周期公式求ω；
（2）利用（1）的解析式求2x+

π

3

的范圍；
（3）對f（x）求導，得到曲線切線范圍，與直線斜率比較，得到答案．

解答： 解：（1）f（x）=

3

×

1+cos2ωx

2

+

1

2

sin2ωx+a=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx+

3

2

+a=sin（2ωx+

π

3

）+

3

2

+a，由題意，2ω×

π

12

+

π

3

=

π

2

，所以ω=1；
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

+a，
∵x∈[-

π

6

，

5π

12

]，∴2x+

π

3

∈[0，

7π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴f（x）在區間[-

π

6

，

5π

12

]上的最小值為-

1

2

+

3

2

+a=

3

，解得a=

1+ 3

2

；
（3）∵f′（x）=2cos（2x+

π

3

）
∴|f′（x）|≤2，∴曲線y=f（x）的切線斜率的取值范圍是[-2，2]，
而直線的切線斜率=

5

2

＞2，
∴直線5x-2y+c=0與函數y=f（x）的圖象不相切．…（12分）

點評：本題考查了三角函數解析式的化簡以及最值求法，關鍵是正確利用倍角公式等化簡三角函數式，屬于中檔題．