Question

已知f（x）=

3

sinωx-2sin²

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）當x∈[

π

6

，

π

3

]時，求函數f（x）的最小值；
（Ⅱ）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin²A=sinB+sin（A-C），求角A，B的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,余弦定理

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）首先化簡三角函數解析式為一個角的一個三角函數名稱的形式，然后根據x的范圍求最小值；
（Ⅱ）由f（C）=1，且2sin²A=sinB+sin（A-C），化簡得到sinA(2sinA-

3

)=0，求出A，B．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

3

sinωx-2

1-cosωx

2

=

3

sinωx+cosωx-1=2sin（ωx+

π

6

）-1，
由

2π

ω

=π得ω=2，所以f（x）=2sin（2x+

π

6

）-1，
由x∈[

π

6

，

π

3

]，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴當2x+

π

6

=

5π

6

時，sin（2x+

π

6

）=

1

2

，
f（x）_min=2×

1

2

-1=0；
（ II）由f(C)=2sin(2C+

π

6

)-1及f（C）=1，得sin(2C+

π

6

)=1
而

π

6

≤2C+

π

6

≤2π+

π

6

，所以2C+

π

6

=

π

2

，解得C=

π

6

，…（8分）
由2sin²A=sinB+sin（A-C），
得2sin2A=sin(π-

π

6

-A)+sin(A-

π

6

)，2sin2A=sin(

π

6

+A)+sin(A-

π

6

)，…（9分）2sin2A=sin

π

6

cosA+cos

π

6

sinA+sinAcos

π

6

-cosAsin

π

6

，2sin2A=

3

sinA，…（11分）
sinA(2sinA-

3

)=0
∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴sinA=

3

2

.A=

π

3

或A=

2π

3

，
當A=

π

3

時，B=

π

3

；當A=

2π

3

時，B=

π

6

．…（12分）

點評：本題考查了三角函數的化簡、三角函數的最值求法以及解三角形，屬于中檔題．