Question

已知拋物線C₁：y²=4x，圓C₂：（x-1）²+y²=1，過拋物線焦點的直線l交C₁于A，D兩點，交C₂于B，C兩點，如圖．
（1）求|AB|•|CD|的值；
（2）是否存在直線l，使kOA+kOB+kOC+kOD=3

2

，且|AB|，|BC|，|CD|依次成等差數列，若存在，求出所有滿足條件的直線l；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設直線l：my=x-1，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由

my=x-1 y2=4x

⇒y2-4my-4=0，能求出|AB|•|CD|的值．
（2）設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），B（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由kOA+kOD=

y1

x1

+

y2

x2

=

x1y2+x2y1

x1x2

=

y1y2(y1+y2)

4x1x2

=-4m，知

(x-1)2+y2=1 my=x-1

⇒y2=

1

1+m2

，由此能求出存在直線它的方程為

2

x+y-

2

=0．

解答：解：（1）設直線l：my=x-1，A（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
由

my=x-1 y2=4x

⇒y2-4my-4=0，
得到y₁y₂=-4，x₁x₂=1，
∴|AB|•|CD|=（x₁+1-1）（x₂+1-1）=x₁x₂=1．…（6分）
（2）設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），B（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由（1）知

(x-1)2+y2=1 my=x-1

⇒y2=

1

1+m2

，B(1+

m

1+m2

，

1

1+m2

)，
∴C(1-

m

1+m2

，-

1

1+m2

)，
∴kOB+kOC=

y3

x3

+

y4

x4

=

x1y2+x2y1

x1x2

=-2m，
∴m=-

2

2

，
此時直線l：-

2

2

y=x-1，
由

- 2 2 y=x-1 y2=4x

⇒y2+2

2

y-4=0，
∴|AD|=

1+m2

|y1-y2|=6，
|AB|+|CD|=2|BC|?|AD|=3|BC|=6，
所以|AB|，|BC|，|CD|成等差數列，
所以存在直線它的方程為

2

x+y-

2

=0．…（15分）

點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．