Question

已知橢圓C的兩個焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），拋物線E以坐標原點為頂點，F₂為焦點．直線l過點F₂，且交y軸于D點，交拋物線E于A，B兩點若F₁B⊥F₂B，則|AF₂|-|BF₂|=

4

．

Answer 1

分析：根據題意，求出拋物線方程為y²=4x．設B（s，t），可得

F 1B

、

F 2B

關于s、t的坐標形式，根據

F 1B

•

F 2B

=0列式可得（s+1）（s-1）+t²=0．因為s、t滿足t²=4s，所以聯解可得s=

5

-2（舍負）．然后根據拋物線的性質，算出A的橫坐標s′=

5

+2．最后由拋物線的定義分別算出|AF₂|=

5

+3且|BF₂|=（

5

-1），即可得到|AF₂|-|BF₂|的值．

解答：解：∵拋物線E以坐標原點為頂點，F₂（1，0）為焦點，
∴設B（s，t），可得

F 1B

=（s+1，t），

F 2B

=（s-1，t），
∵F₁B⊥F₂B，
∴

F 1B

•

F 2B

=（s+1）（s-1）+t²=0，…（*）
∵點B在拋物線y²=4x上，可得t²=4s
∴方程（*）化簡成：s²+4s-1=0
解之得s=

5

-2（舍負），
根據拋物線的定義，可得|BF₂|=s+

p

2

=

5

-2+1=

5

-1
設點A的坐標為（s′，t′），可得s′=

p2 4

s

=

1

5 -2

=

5

+2
∴|AF₂|=s′+

p

2

=

5

+2+1=

5

+3
因此，|AF₂|-|BF₂|=

5

+3-（

5

-1）=4
故答案為：4

點評：本題給出拋物線和橢圓，給出拋物線的焦點弦AB，在已知F₁B⊥F₂B的情況下求|AF₂|-|BF₂|的值．著重考查了橢圓、拋物線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．