Question

【題目】空氣質量指數PM2.5（單位：μg/m3）表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：

PM2.5 日均濃度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空氣質量級別	一級	二級	三級	四級	五級	六級
空氣質量類型	優	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴重污染

甲、乙兩城市2013年2月份中的15天對空氣質量指數PM2.5進行監測，獲得PM2.5日均濃度指數數據如莖葉圖所示：

（1）根據你所學的統計知識估計甲、乙兩城市15天內哪個城市空氣質量總體較好？（注：不需說明理由）
（2）在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優或良的概率；
（3）在乙城市15個監測數據中任取2個，設X為空氣質量類別為優或良的天數，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：甲城市空氣質量總體較好．
（2）解：甲城市在15天內空氣質量類別為優或良的共有10天，任取1天，空氣質量類別為優或良的概率為 ，

乙城市在15天內空氣質量類別為優或良的共有5天，任取1天，空氣質量類別為優或良的概率為 ，

在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優或良的概率為 ．

（3）解：X的取值為0，1，2，

， ，P（X=2）= = ．

X的分布列為：

X	0		2
P

數學期望 ．

【解析】（1）由莖葉圖可知：甲城市空氣質量一級和二級共有10天，而乙城市空氣質量一級和二級只有5天，因此甲城市空氣質量總體較好．（2）由（1）的分析及相互獨立事件的概率計算公式即可得出；（3）利用超幾何分布即可得到分布列，再利用數學期望的計算公式即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解莖葉圖的相關知識，掌握莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數，每個數具體是多少，以及對離散型隨機變量及其分布列的理解，了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．