Question

已知中心在原點的橢圓C：的一個焦點為，為橢圓C上一點，的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OM的直線，使得直線與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)    (2) 直線存在，且所求的直線的方程為或．

解析試題分析：(1)因為橢圓C的一個焦點為，
所以，則橢圓C的方程為，
因為，所以，解得．
故點M的坐標為(1，4)．
因為M(1，4)在橢圓上，所以，得，
解得或（不合題意，舍去），則．
所以橢圓C的方程為．
(2)假設存在符合題意的直線與橢圓C相交于，兩點，其方程為（因為直線OM的斜率，
由消去，化簡得．
進而得到，．
因為直線與橢圓C相交于A，B兩點，
所以，
化簡，得，解得．
因為以線段AB為直徑的圓恰好經過原點，
所以，所以．
又，
，
解得．由于，所以符合題意的直線存在，且所求的直線的方程為或．
考點：直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，確定橢圓方程，正確運用韋達定理是關鍵．