Question

已知a∈R，函數f（x）=xln（-x）+（a-1）x．
（Ⅰ）若f（x）在x=-e處取得極值，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[-e²，-e^-1]上的最大值g（a）．

Answer 1

分析：（I）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（II）先研究f（x）在區間[-e²，-e^-1]上的單調性，再利用導數求解f（x）在區間[-e²，-e^-1]上的最大值問題即可，故只要先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值即得．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=ln（-x）+a，（2分）
由題意知x=-e時，f'（x）=0，即：f'（-e）=1+a=0，
∴a=-1（3分）
∴f（x）=xln（-x）-2x，f'（x）=ln（-x）-1
令f'（x）=ln（-x）-1=0，可得x=-e
令f'（x）=ln（-x）-1＞0，可得x＜-e
令f'（x）=ln（-x）-1＜0，可得-e＜x＜0
∴f（x）在（-∞，-e）上是增函數，在（-e，0）上是減函數，（6分）
（Ⅱ）f'（x）=ln（-x）+a，
∵x∈[-e²，-e^-1]，
∴-x∈[e^-1，e²]，
∴ln（-x）∈[-1，2]，（7分）
①若a≥1，則f'（x）=ln（-x）+a≥0恒成立，此時f（x）在[-e²，-e^-1]上是增函數，
f_max（x）=f（-e^-1）=（2-a）e^-1（9分）
②若a≤-2，則f'（x）=ln（-x）+a≤0恒成立，此時f（x）在[-e²，-e^-1]上是減函數，
f_max（x）=f（-e²）=-（a+1）e²（11分）
③若-2＜a＜1，則令f'（x）=ln（-x）+a=0可得x=-e^-a
∵f'（x）=ln（-x）+a是減函數，
∴當x＜-e^-a時f'（x）＞0，當x＞-e^-a時f'（x）＜0
∴f（x）在（-∞，-e）[-e²，-e^-1]上左增右減，
∴f_max（x）=f（-e^-a）=e^-a，（13分）
綜上：g(a)=

(2-a)e-1a≥1 -(a+1)e2a≤-2 e-a，-2＜a＜1

（14分）

點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力，中檔題．