Question

【題目】函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣3，定義數(shù)列{ xn}如下：x1=2，xn+1是過(guò)兩點(diǎn)P（4，5），Qn（ xn ， f（xn））的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）證明：2≤xn＜xn+1＜3；
（2）求數(shù)列{ xn}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①n=1時(shí)，x1=2，直線PQ1的方程為

當(dāng)y=0時(shí)，∴ ，∴2≤x1＜x2＜3；

②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直線PQk+1的方程為

當(dāng)y=0時(shí)，∴

∵2≤xk＜xk+1＜3，∴

∴xk+1＜xk+2∴2≤xk+1＜xk+2＜3

即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立

由①②可知：2≤xn＜xn+1＜3；

（2）

解：由（1），可得

設(shè)bn=xn﹣3，∴

∴

∴ 是以﹣ 為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列

∴

∴

∴ ．

【解析】（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①n=1時(shí)，x1=2，直線PQ1的方程為 ，當(dāng)y=0時(shí)，可得 ；②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直線PQk+1的方程為 ，當(dāng)y=0時(shí)，可得 ，根據(jù)歸納假設(shè)2≤xk＜xk+1＜3，可以證明2≤xk+1＜xk+2＜3，從而結(jié)論成立．（2）由（1），可得 ，構(gòu)造bn=xn﹣3，可得 是以﹣ 為首項(xiàng)，5為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列{ xn}的通項(xiàng)公式．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)．