Question

【題目】已知橢圓（）的兩個頂點分別為和，兩個焦點分別為和（），過點的直線與橢圓相交于另一點，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設直線上有一點（）在的外接圓上，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析: 求出點的坐標，根據點在橢圓上滿足橢圓方程，列出一個的等式就可以求出離心率，根據離心率進行減元，把橢圓方程寫出來，寫出的垂直平分線的方程，直線與 軸交點恰好為外接圓的圓心，得出外接圓的方程，點（）既在直線上又在的外接圓上，聯立方程組求出.

試題解析：（Ⅰ） ，且，

點是點和點的中點.

， ， 點的坐標為.

代入得： ，

離心率.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，

所以橢圓的方程可設為.

若，則.

線段的垂直平分線的方程為.

直線與軸的交點是外接圓的圓心，

因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點的坐標滿足方程組

，由解得.

故.