Question

（2013•煙臺二模）己知函數f(x)=

lnx

x

．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若關于x的不等式1nx＜kx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，求實數k的取值范圍；
（3）是否存在正實數m、n（m＜n），使mⁿ=n^m？若不存在，請說明理由；若存在，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數函數f(x)=

lnx

x

的導數為y′的解析式，分別令y′＞0，y′＜0，求得單調區間．
（2）利用分離參數法，得k＞

lnx

x

一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，轉化為求求f（x）=

lnx

x

在x∈[a，2a]上的最大值．
（3）mⁿ=n^m等價于nlnm=mlnn，即

lnm

m

=

lnn

n

，函數f(x)=

lnx

x

在（0，+∞）上有不同兩點函數值相等．利用f（x）的圖象解決．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

1-lnx

x2

當0＜x＜e時，f′（x）＞0，所以
f（x）單調遞增，當x＞e時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．所以f（x）單調遞增區間是（0，e），單調遞減區間是（e，+∞），
（2）不等式1nx＜kx對一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，分離k，得k＞

lnx

x

一切x∈[a，2a]（其中a＞0）都成立，
下面求f（x）=

lnx

x

在x∈[a，2a]上的最大值．因為a＞0，由（1）知，f（x）單調遞增區間是（0，e），單調遞減區間是（e，+∞），
當2a≤e，即0＜a≤

e

2

時，f（x）在[a，2a]上單調遞增，f（x）max=f（2a）=

ln(2a)

2a

當a≥e時，f（x）在[a，2a]上單調遞減，f（x）max=f（a）=

lna

a

當a＜e＜2a時，即

e

2

＜a＜e時，f（x）在[a，e]上單調遞增，在[e，2a]上單調遞減，f（x）max=f（e）=

1

e

綜上，當0＜a≤

e

2

時，k＞

ln(2a)

2a

，當a≥e時，k＞

lna

a

，當

e

2

＜a＜e時，k＞

1

e

．
（3）存在．
由mⁿ=n^m，兩邊取自然對數，得nlnm=mlnn，即

lnm

m

=

lnn

n

，函數f(x)=

lnx

x

在（0，+∞）上有不同兩點函數值相等．
因為f（x）單調遞增區間是（0，e），單調遞減區間是（e，+∞），當x∈（0，1）時，f（x）＜0，f（x）max=f（e）=

1

e

當x無限增大時，f（x）無限接近0，且f（x）＞0，f（x）的圖象如圖所示，
故總存在正實數m，n且1＜m＜e＜n，使得f（m）=f（n），即使mⁿ=n^m，此時1＜m＜e．

點評：本題考查導數知識的運用，函數的單調性，查函數的最值，考查分類討論的數學思想，化歸與轉化思想．數形結合的思想，綜合性強，難度大．