Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別是橢圓C長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)M是直角三角PAF的外接圓圓心，求橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值．

 

Answer 1

（1）橢圓C的方程為；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值是．

【解析】

試題分析：(1)設(shè)橢圓方程為，把，代入即可解得，∴橢圓方程為；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是,求出的坐標(biāo)，根據(jù)和橢圓方程聯(lián)立即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)是，由兩點(diǎn)之間的距離公式得，由于,∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.

試題解析：(1) (4分)

（2）由已知可得點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是,則，由已知得，則，解得或.

由于，只能，于是，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是 (9分 )

（3） 點(diǎn)M的坐標(biāo)是， 橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離有

由于 (14分)

考點(diǎn)：橢圓的方程、最值的求法、函數(shù)與方程思想.