Question

對于實數x，符號[x]不超過x的最大整數，例如[π]=3，[-3.5]=-4，定義函數f（x）=x-[x]，則下列結論正確的是（　　）

• A、方程f（x）=k（k∈R）有且僅有一個解
• B、函數f（x）的最大值為1
• C、函數f（x）是增函數
• D、函數f（x）的最小值為0

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法

專題：新定義,函數的性質及應用

分析：先充分理解[x]的含義，并對x分類討論求出函數對應解析式，再畫出函數的圖象，由圖象求出函數的最值、單調性以及周期性，結合答案項進行判斷即可．

解答： 解：由題意可知：當x∈[0，1）時，f（x）=x-[x]=x；
當x∈[1，2）時，f（x）=x-[x]=x-1…，
畫出函數的圖象如下：

由圖得：f（x）=x-[x]∈[0，1），
所以函數f（x）的最小值為0，無最大值，B不對、D正確；
函數圖象每隔一個單位重復一次，所以函數是以1為周期的函數，A不對；
函數在定義域有增有減，C不正確．
故選：D．

點評：本題以新定義的形式考查分段函數的性質：值域、單調性、周期性，利用新定義畫出函數的圖象是解題的關鍵，考查數形結合思想和分類討論思想．