Question

【題目】已知函數y＝f1（x），y＝f2（x），定義函數f（x）．

（1）設函數f1（x）＝x+3，f2（x）＝x2﹣x，求函數y＝f（x）的解析式；

（2）在（1）的條件下，g（x）＝mx+2（m∈R），函數h（x）＝f（x）﹣g（x）有三個不同的零點，求實數m的取值范圍；

（3）設函數f1（x）＝x2﹣2，f2（x）＝|x﹣a|，函數F（x）＝f1（x）+f2（x），求函數F（x）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據函數f（x）的定義，兩個函數中取小的.

（2）函數h（x）＝f（x）﹣g（x）有三個不同的零點，即方程f（x）＝g（x）有三個不同的實數根，因為函數 是分段函數，分類討論，分別用一次方程和二次方程求解.

（3）根據題意F（x）．按照二次函數函數定區間動的類型，討論對稱軸與區間端點值間的關系求最值.

（1）∵f1（x）＝x+3，，

當f1（x）≤f2（x），即x≥3或x≤﹣1時，f（x）＝x+3，

當f1（x）＞f2（x），即﹣1＜x＜3時，，

綜上：．

（2）函數h（x）＝f（x）﹣g（x）有三個不同的零點，

即方程f（x）＝g（x）有三個不同的實數根，

因為函數，函數g（x）＝mx+2（m∈R），

所以當x≤﹣1或x≥3時，mx+2＝x+3恰有一個實數解，

所以或，

解得，．

當﹣1＜x＜3時，mx+2＝x2﹣x恰有兩個不同的實數解，

即當﹣1＜x＜3時x2﹣（m+1）x﹣2=0恰有兩個不同的實數解，

設函數h（x）＝x2﹣（m+1）x﹣2，

由題意可得，

所以，

解得，

綜上，m的取值范圍為．

（3）F（x）＝f1（x）+f2（x）＝x2+|x﹣a|﹣2．

①若a，則函數F（x）在上是單調減函數，在上是單調增函數，

此時，函數F（x）的最小值為；

②若，則函數F（x）在（﹣∞，a）上是單調減函數，在（a，+∞）上是單調增函數，

此時，函數F（x）的最小值為F（a）＝a2﹣2；

③若，則函數F（x）在上是單調減函數，在上是單調增函數，

此時，函數F（x）的最小值為；

綜上：．